hosteons中文网

对于基础薄弱的读者，本节的内容可能略显晦涩和枯燥，如果你觉得吃力，可以暂时跳过，基本不会影响后续章节的学习，等用到的时候再来阅读。

上节我们对二进制、八进制和十六进制进行了说明，本节重点讲解不同进制之间的转换，这在编程中经常会用到，尤其是C语言。

将二进制、八进制、十六进制转换为十进制

二进制、八进制和十六进制向十进制转换都非常容易，就是“按权相加”。所谓“权”，也即“位权”。

假设当前数字是 N 进制，那么：

• 对于整数部分，从右往左看，第 i 位的位权等于N^i-1
• 对于小数部分，恰好相反，要从左往右看，第 j 位的位权为N^-j。

更加通俗的理解是，假设一个多位数（由多个数字组成的数）某位上的数字是 1，那么它所表示的数值大小就是该位的位权。

1) 整数部分

例如，将八进制数字 53627 转换成十进制：

53627 = 5×8⁴ + 3×8³ + 6×8² + 2×8¹ + 7×8⁰ = 22423（十进制）

从右往左看，第1位的位权为 8⁰=1，第2位的位权为 8¹=8，第3位的位权为 8²=64，第4位的位权为 8³=512，第5位的位权为 8⁴=4096 …… 第n位的位权就为 8^n-1。将各个位的数字乘以位权，然后再相加，就得到了十进制形式。

注意，这里我们需要以十进制形式来表示位权。

再如，将十六进制数字 9FA8C 转换成十进制：

9FA8C = 9×16⁴ + 15×16³ + 10×16² + 8×16¹ + 12×16⁰ = 653964（十进制）

从右往左看，第1位的位权为 16⁰=1，第2位的位权为 16¹=16，第3位的位权为 16²=256，第4位的位权为 16³=4096，第5位的位权为 16⁴=65536 …… 第n位的位权就为 16^n-1。将各个位的数字乘以位权，然后再相加，就得到了十进制形式。

将二进制数字转换成十进制也是类似的道理：

11010 = 1×2⁴ + 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ = 26（十进制）

从右往左看，第1位的位权为 2⁰=1，第2位的位权为 2¹=2，第3位的位权为 2²=4，第4位的位权为 2³=8，第5位的位权为 2⁴=16 …… 第n位的位权就为 2^n-1。将各个位的数字乘以位权，然后再相加，就得到了十进制形式。

2) 小数部分

例如，将八进制数字 423.5176 转换成十进制：

423.5176 = 4×8² + 2×8¹ + 3×8⁰ + 5×8^-1 + 1×8^-2 + 7×8^-3 + 6×8^-4 = 275.65576171875（十进制）

小数部分和整数部分相反，要从左往右看，第1位的位权为 8^-1=1/8，第2位的位权为 8^-2=1/64，第3位的位权为 8^-3=1/512，第4位的位权为 8^-4=1/4096 …… 第m位的位权就为 8^-m。

再如，将二进制数字 1010.1101 转换成十进制：

1010.1101 = 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ + 1×2^-1 + 1×2^-2 + 0×2^-3 + 1×2^-4 = 10.8125（十进制）

小数部分和整数部分相反，要从左往右看，第1位的位权为 2^-1=1/2，第2位的位权为 2^-2=1/4，第3位的位权为 2^-3=1/8，第4位的位权为 2^-4=1/16 …… 第m位的位权就为 2^-m。

更多转换成十进制的例子：

• 二进制：1001 = 1×2³ + 0×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 0 + 0 + 1 = 9（十进制）
• 二进制：101.1001 = 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ + 1×2^-1 + 0×2^-2 + 0×2^-3 + 1×2^-4 = 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0 + 0 + 0.0625 = 5.5625（十进制）
• 八进制：302 = 3×8² + 0×8¹ + 2×8⁰ = 192 + 0 + 2 = 194（十进制）
• 八进制：302.46 = 3×8² + 0×8¹ + 2×8⁰ + 4×8^-1 + 6×8^-2 = 192 + 0 + 2 + 0.5 + 0.09375= 194.59375（十进制）
• 十六进制：EA7 = 14×16² + 10×16¹ + 7×16⁰ = 3751（十进制）

将十进制转换为二进制、八进制、十六进制

将十进制转换为其它进制时比较复杂，整数部分和小数部分的算法不一样，下面我们分别讲解。

1) 整数部分

十进制整数转换为 N 进制整数采用“除 N 取余，逆序排列”法。具体做法是：

• 将 N 作为除数，用十进制整数除以 N，可以得到一个商和余数；
• 保留余数，用商继续除以 N，又得到一个新的商和余数；
• 仍然保留余数，用商继续除以 N，还会得到一个新的商和余数；
• ……
• 如此反复进行，每次都保留余数，用商接着除以 N，直到商为 0 时为止。

把先得到的余数作为 N 进制数的低位数字，后得到的余数作为 N 进制数的高位数字，依次排列起来，就得到了 N 进制数字。

下图演示了将十进制数字 36926 转换成八进制的过程：